Formulario

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Formulario Muestreo Aleatorio Simple (MAS)

• Número de muestras distintas de tamaño $N$ sin reemplazo de una población de tamaño $N$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)=\frac{N!}{n!(N-n)!}(3.01)$
  • Demostración: Se explica en la Sección 3.1 y se ejemplifica en el Ejemplo 3.1.
• Número de muestras posibles de tamaño $N$ con reemplazo y sin orden de una población de tamaño $N$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+n-1}{n}\right)=\frac{(N+n-1)!}{n!(N-1)!}(3.02)$
  • Demostración: Se explica en la Sección 3.2 y se ejemplifica en el Ejemplo 3.2.
• Número de muestras posibles de tamaño $N$ con reemplazo y con orden de una población de tamaño $N$: $N^n$
  • Demostración: Se explica en la Sección 3.2 y se ejemplifica en el Ejemplo 3.3.

Probabilidad de Selección

• Probabilidad de que una unidad de la población esté en la muestra en MAS sin reemplazo: ${\pi }_i=\frac{n}{N}$
  • Demostración: Se explica en detalle en la Sección 3.3, considerando la probabilidad de selección en cada ocasión.
• Probabilidad de selección conjunta de dos unidades muestrales $u_i$ y $u_j$ en MAS sin reemplazo: $\pi \_ij=\frac{n(n-1)}{N(N-1)}$
  • Demostración: Se deriva al considerar la variable aleatoria producto $e_i{e}_j$ y su esperanza en la Sección 3.3.
• Probabilidad de selección con reemplazo:
  • Para cualquier elemento específico en cada una de las $N$ ocasiones: $\frac{1}{N}$
  • Los resultados de cada ocasión son independientes.

Propiedades de las Probabilidades Simples y Conjuntas

• Propiedad 1: $\sum \_{i=1}^N{\pi }_i=n$
  • Demostración: Se demuestra en la Sección 3.4.1 utilizando la esperanza de la suma de las variables auxiliares $e_i$.
• Propiedad 2: $\sum \ast {i=1}^N{\pi }_i^2=n{\pi }_i-\sum \ast {i\ne l}^N\pi \_il$
  • Demostración: Se demuestra en la Sección 3.4.1 relacionándola con la Propiedad 1.
• Propiedad 3: $\sum \ast {l\ne i}^N\pi \ast il=(n-1){\pi }_i$
  • Demostración: Se demuestra en la Sección 3.4.1 utilizando la esperanza de un producto de sumas de variables auxiliares.
• Propiedad 4: $\sum \ast {l\ne i}^N(\pi \ast il-{\pi }_i{\pi }_l)=-{\pi }_i(1-{\pi }_i)$
  • Demostración: Se verifica en la Sección 3.4.1 utilizando las Propiedades 2 y 3.
• Propiedad 5: $\sum \ast {i\ne l}^N\pi \ast il=n(n-1)$
  • Demostración: Se verifica en la Sección 3.4.1 utilizando la Propiedad 3.

Parámetros y Estimadores

• Estimador general de Horvitz y Thompson para el total $\theta$: ${\hat{\theta }}_{HT}={\sum }_{i=1}^{n}w\ast i{X}_i$ donde $w_i=1/{\pi }_i$. Para MAS, $w_i=N/n$. $\hat{T}=\sum \ast {i=1}^n\frac{N}{n}{X}_i=N\bar{X}(3.12)$
  • Condición de insesgamiento: $E({\hat{\theta }}_{HT})=\theta$. La demostración se encuentra en la Sección 3.5.1.
• Media Poblacional: $\mu \ast X=\frac{1}{N}\sum \ast {i=1}^N{X}_i(3.13)$
  • Estimador de la media muestral (insesgado): $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum \_{i=1}^n{X}_i(3.14,3.21)$
    • Demostración de insesgamiento: Se muestra en la Sección 3.6.
• Total Poblacional: $T\ast X=\sum \ast {i=1}^N{X}_i(3.15)$
  • Estimador del total (insesgado): ${\hat{T}}_X=N\bar{X}=\frac{N}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i(3.16)$
    • Demostración de insesgamiento: Se sigue del insesgamiento de la media muestral.
• Proporción Poblacional: $P\ast X=\frac{A_X}{N}=\frac{\sum \ast {i=1}^N{X}_i}{N}(3.17)$ donde $X_i$ es 1 si la unidad tiene el atributo y 0 si no.
  • Estimador de la proporción muestral (insesgado): ${\hat{P}}_X=p_x=\frac{a_x}{n}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}{n}(3.18)$
    • Demostración de insesgamiento: Se menciona en la Sección 3.6, ya que la proporción es una media para valores dicotómicos.
• Razón Poblacional: $R\ast 0=\frac{T_A}{T_B}=\frac{\sum \ast {i=1}^{N}A\ast i}{\sum \ast {i=1}^N{B}_i}$
  • Estimador de la razón muestral (sesgado): $R\ast y=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}=\frac{\sum \ast {i=1}^{n}Y\ast i}{\sum \ast {i=1}^n{X}_i}$
    • Se indica que es sesgado en la Sección 3.6.

Varianza de los Estimadores

• Varianza del estimador del total ${\hat{T}}_X$: $V({\hat{T}}_X)={\sum }_{i=1}^N(\frac{X\ast i}{{\pi }_i}{)}^{2}V(e_i)+\sum \ast {i=1}^N\sum \ast {j\ne i}^N(\frac{X_i}{{\pi }_i})(\frac{X_j}{{\pi }_j})Cov(e_i,e_j)(3.23)$ Para MAS (${\pi }_i=n/N$, $\pi \ast ij=n(n-1)/(N(N-1))$): $V({\hat{T}}_X)=N^2(1-f)\frac{S_X^2}{n}(3.27)$ donde $f=n/N$ y $S_X^2=\frac{1}{N-1}{\sum }_{i=1}^N(X_i-{\mu }_X{)}^2$ (cuasivarianza poblacional).
  • Demostración: Se desarrolla en la Sección 3.7 utilizando la varianza y covarianza de las variables auxiliares.
• Varianza del estimador de la media $\bar{X}$:
  • Sin reemplazo: $V(\bar{X})=(1-f)\frac{S_X^2}{n}=\frac{N-n}{N}\frac{S_X^2}{n}(3.29)$
  • Con reemplazo: $V(\bar{X})=\frac{\sigma \ast X^2}{n}=\frac{N-1}{N}\frac{S_X^2}{n}(3.30)$ donde ${\sigma }_X^2=\frac{1}{N}\sum \ast {i=1}^N(X_i-{\mu }_X{)}^2$ (varianza poblacional).
  • Demostración: Se detalla en la Sección 3.8.
• Varianza del estimador de la proporción ${\hat{P}}_X=p_x$: $V(p_x)=(1-f)\frac{P_X{Q}_X}{n-1}\frac{N}{N-1}\approx (1-f)\frac{P_X{Q}_X}{n}(3.42)$ donde $Q_X=1-P_X$.
  • Demostración: Se sigue un procedimiento similar al de la media en la Sección 3.9.
• Varianza del estimador del total de casos ${\hat{A}}_X=N{p}_x$: $V(\hat{A}\_X)=N^2(1-f)\frac{P_X{Q}_X}{n-1}\frac{N}{N-1}\approx N^2(1-f)\frac{P_X{Q}_X}{n}$
  • Derivación: Se obtiene multiplicando por $N^2$ la varianza del estimador de la proporción.

Estimador de Varianza

• Estimador general de varianza para el total $\hat{V}({\hat{T}}_X)$: $\hat{V}({\hat{T}}_X)={\sum }_{i=1}^n(\frac{X\ast i}{{\pi }_i}{)}^2(1-{\pi }_i)+\sum \ast {i=1}^n\sum \ast {j\ne i}^n(\frac{X_i}{{\pi }_i})(\frac{X_j}{{\pi }_j})(\frac{\pi \ast ij-\pi \ast i{\pi }_j}{\pi \ast ij})$ Para MAS: $\hat{V}({\hat{T}}_X)=N^2(1-f)\frac{s_x^2}{n}(3.48)$ donde $s_x^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ (cuasivarianza muestral).
  • Se espera que sea insesgado: $E[\hat{V}({\hat{T}}_X)]=V({\hat{T}}_X)$. La verificación para MAS se encuentra en la Sección 3.10.
• Estimador de varianza para la media $\hat{V}(\bar{X})$:
  • Sin reemplazo (insesgado): $\hat{V}(\bar{X})=(1-f)\frac{s_x^2}{n}=\frac{N-n}{Nn}{s}_x^2(3.52)$
    • Demostración de insesgamiento: Se presenta en la Sección 3.11.
  • Con reemplazo (sesgado): $\hat{V}(\bar{X})=\frac{s_x^2}{n}$
    • Se demuestra que es sesgado en la Sección 3.11.
• Estimador de varianza para la proporción $\hat{V}(p_x)$: $\hat{V}(p_x)=(1-f)\frac{p_x{q}_x}{n-1}(3.65)$ donde $q_x=1-p_x$.
• Estimador de varianza para el total de casos $\hat{V}({\hat{A}}_X)=N^2\hat{V}(p_x)$: $\hat{V}(\hat{A}\_X)=N^2(1-f)\frac{p_x{q}_x}{n-1}$

Precisión y Acuracidad

• Error Cuadrático Medio (ECM) de un estimador $\hat{\theta }$: $ECM(\hat{\theta })=E[(\hat{\theta }-\theta {)}^2]=V(\hat{\theta })+[Sesgo(\hat{\theta }){]}^2(3.67)$
  • Precisión: Medida por la varianza $V(\hat{\theta })$.
  • Acuracidad: Medida por el ECM, que considera tanto la varianza como el sesgo.

Estimación por Intervalos

• Intervalo de Confianza General para un parámetro $\theta$: $\hat{\theta }\pm k\sqrt{\hat{V}(\hat{\theta })}$ donde $k$ depende del nivel de confianza (generalmente se usa $z_{\alpha /2}$ para muestras grandes o distribución normal asumida, y $t_{n-1,\alpha /2}$ para muestras pequeñas con varianza desconocida estimada).

Tamaño de Muestra (MAS)

• Para estimar la media ${\mu }_X$ con margen de error absoluto $e$: $n\ge \frac{k^2{S}_X^2}{e^2+\frac{k^2{S}_X^2}{N}}(3.77)$ Si $N$ es grande: $n_0=\frac{k^2{S}_X^2}{e^2}$. Entonces $n=\frac{n_0}{1+\frac{n_0}{N}}(3.80)$.
• Para estimar el total $T_X$ con margen de error absoluto $E$: $n\ge \frac{k^2{N}^2{S}_X^2}{E^2+k^{2}N{S}_X^2}(3.83)$
• Para estimar la media ${\mu }_X$ con margen de error relativo $e^{\prime }$: $n\ge \frac{k^2{S}_X^2}{e^{\prime 2}{\mu }_X^2+\frac{k^2{S}_X^2}{N}}(3.87)$ Si $N$ es grande: $n_0=\frac{k^{2}C{V}_X^2}{e^{\prime 2}}$, donde $C{V}_X=S_X/{\mu }_X$. Entonces $n=\frac{n_0}{1+\frac{n_0}{N}}(3.88)$.
• Para estimar el total $T_X$ con margen de error relativo $e^{\prime }$: La fórmula es la misma que para la media con margen de error relativo.
• Para estimar la proporción $P_X$ con margen de error absoluto $e$: $n\ge \frac{N{k}^2{P}_X{Q}_X}{e^2(N-1)+k^2{P}_X{Q}_X}(3.93)$ Si $N$ es grande: $n_0=\frac{k^2{P}_X{Q}_X}{e^2}$. Entonces $n=\frac{n_0}{1+\frac{n_0}{N}}(3.94)$. Usar $P_X=0.5$ para máxima varianza si no se conoce $P_X$.

Errores de Muestreo y No de Muestreo

• Error de Muestreo Relativo (Coeficiente de Variación) de un estimador $\hat{\theta }$: $CV(\hat{\theta })=\frac{\sqrt{\hat{V}(\hat{\theta })}}{|\hat{\theta }|}\times 100\%$

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