Error Cuadrático Medio

definicion

Definición

Sea $\hat{\theta }=g(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ un estimador de $\theta$. El error cuadrático medio de $\hat{\theta }$ se define como

$$ECM(\hat{\theta })=E(\hat{\theta }-\theta {)}^2=V(\hat{\theta })+[\theta -E(\hat{\theta }){]}^2$$

El término $\theta -E(\hat{\theta })$ es el sesgo del estimador $\hat{\theta }$ y puede ser positivo o negativo o cero. El $ECM(\hat{\theta })$ es la suma de dos términos no negativos.

Entonces si $\hat{\theta }$ es un estimador insesgado de $\theta$ esto implica que

$$ECM(\hat{\theta })=V(\hat{\theta })$$

Verificando

$$\begin{array}{r}ECM(\hat{\theta })=E(\hat{\theta }-\theta {)}^2=E([\hat{\theta }-E(\hat{\theta })]-[\theta -E(\hat{\theta })]{)}^2\\ =E[\hat{\theta }-E(\hat{\theta }){]}^2-2[\theta -E(\hat{\theta })]E[\hat{\theta }-E(\hat{\theta })]+E(\theta -E(\widehat{\theta )}{)}^2\\ =V(\hat{\theta })+[\theta -E(\hat{\theta }){]}^2\end{array}$$