Métodos de Estimación

Método de Máxima Verosimilitud

Verosímil sinónimo de probable Sea $X$ una v.a. poblacional con fdp $f(x,\theta )$. Se toma una m.a. de $X\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$, luego la función de verosimilitud se define como $L=f(x_1,x_2,\dots ,x_n;\theta )=f(x_1;\theta )f(x_2;\theta )\dots f(x_n;\theta )={\prod }_{i=1}^{n}f(x_i;\theta )$ La función máximo verosímil, logaritmo, derivada respecto a $\theta$, e igualado a cero.

$$\begin{array}{r}\ln L=\ln \prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\prod _{i=1}^n\ln f(x_i;\theta )\\ \frac{\partial \ln L}{\partial \theta }=0⟹\sum _{i=1}^n\frac{\partial \ln f(x_i,\theta )}{\partial \theta }=0\to \hat{\theta }=?\end{array}$$

Método de momentos

Sea $X$ una v.a. poblacional con fdp $f(x;\theta )$. Se toma una m.a. de tamaño $n$ de $X$, luego se define los “momentos de orden $r$” respecto al origen de tipo poblacional y muestral.

Población:

$$M_r=E(X^r)\{\begin{array}{l}{\sum }_{R_x}{x}^{r}p(x)\text{Si X es discreta}\\ {\int }_{R_x}{x}^{r}f(x)dx\text{Si X es continua}\end{array}$$

Muestra

$$m_r=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^r;r=1,2,\dots ,k$$

Nota. Se generan k momentos, según el Nro de parámetros a estimar

Método de Estimación

Para lograr la estimación de los $k$-Parámetros se hace:

$$\begin{array}{r}{M}_1=m_1⟹{\hat{\theta }}_1\\ M_2=m_2{=}_{>}{\hat{\theta }}_2\\ \dots \\ M_k=m_k⟹{\hat{\theta }}_k\end{array}$$

Ejemplo

Sea $X\to N({\mu }_x,{\sigma }_x^2)$ determinar los estimadores de Método de Máxima Verosimilitud y Método de momentos para ${\mu }_x,{\sigma }_x^2$.

• De Máxima Verosimilitud

$$L({\mu }_x,{\sigma }_x^2)=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_x}{e}^{-1/2{\left(\frac{x_i-{\mu }_x}{{\sigma }_x}\right)}^2}=\frac{1}{(2\pi {\sigma }_x^2{)}^{n/2}}{e}^{-1/2{\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{x_i-{\mu }_x}{{\sigma }_x}\right)}^2}$$

Log Ned.

$$\ln L({\mu }_x,{\sigma }_x^2)=-\frac{n}{2}\ln 2\pi -\frac{n}{2}\ln {\sigma }_x^2-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{x_i-{\mu }_x}{{\sigma }_x}\right)}^2$$

Derivando

$$\begin{array}{r}\frac{\partial \ln L({\mu }_x,{\sigma }_x^2)}{\partial {\mu }_x}=-\frac{1}{{\sigma }_x^2}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x)(-1)=0\\ \frac{\partial \ln L({\mu }_x,{\sigma }_x^2)}{\partial {\sigma }_x^2}=\frac{n}{2{\sigma }_x^2}-\frac{1}{2{\sigma }_x^4}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x{)}^2=0\\ \text{evaluamos (1) y (2)}\\ (1)⟹\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_x)=0⟹\sum _{i=1}^n{X}_i-\widehat{{\mu }_x}=0⟹\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\widehat{{\mu }_x}⟹\bar{x}=\widehat{{\mu }_x}\\ (2)⟹-\frac{n{\sigma }_x^2+{\sum }_{i=1}^n(x_i-{\mu }_x{)}^2}{2{\sigma }^4}=0⟹-n{\sigma }_x^2+\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x{)}^2=0\\ ⟹-{\sigma }_x^2+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=0⟹{\sigma }_x^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\{\begin{array}{l}{S}_x^2\\ \frac{(n-1)S_x^2}{n};S_x^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)(2)}$$

1er Examen 30 de septiembre

• De Momentos